Cum se rezolvă ecuația pătratică

Rezolvarea ecuațiilor pătratice

• A. Ce este o ecuație pătratică?
• B. Rezolvați ecuații pătratice
• C. Rezolvați mental ecuații pătratice
• D. Utilizarea formulei Viet-et
  • Teorema lui Vieta
  • Teorema inversă a lui Viet-et
• E. Exemplu de rezolvare a ecuației pătratice
• F. Factorizarea
• G. Rezolvarea ecuaţiilor pătratice care conţin parametri

A. Ce este o ecuație pătratică?

O ecuație pătratică este o ecuație de forma (a≠0) (1).

Cu x fiind variabila necunoscută și din moment ce există doar 1 necunoscută, se mai numește și ecuație „variabilă unică”. Numerele a, b și c sunt numere cunoscute, numite coeficienți ai ecuației; pot fi distinse prin numirea lor respectiv: coeficient patratic, coeficient de ordinul I si coeficient liber sau constant.

O ecuație pătratică este un tip de ecuație polinomială, conține doar puteri ale lui x care sunt numere naturale.

Rezolvarea unei ecuații pătratice înseamnă găsirea valorilor lui x, astfel încât atunci când x este înlocuit în ecuația (1), ax2+bx+c=0 este satisfăcut. Există patru modalități comune de a rezolva ecuații pătratice: factorizarea; metoda rădăcinii pătrate; utilizați formula rădăcinii; grafic.

B. Rezolvați ecuații pătratice

Pasul 1: Calculați Δ=b2-4ac

Pasul 2: Comparați Δ cu 0

• Δ < 0=""> Ecuația (1) nu are soluție
• Δ = 0 => ecuația (1) are soluție dublă
• Δ > 0 => ecuația (1) are 2 soluții distincte, folosim următoarea formulă de soluție :

şi

C. Rezolvați mental ecuații pătratice

• Dacă ecuația are a + b + c = 0 atunci ecuația are o soluție.
• Dacă ecuația are a - b + c = 0, atunci ecuația are soluția:

D. Utilizarea formulei Viet-et

Teorema lui Vieta

Dacă este soluția ecuației atunci

Teorema inversă a lui Viet-et

Dacă există două numere, atunci ele sunt soluții ale ecuației , (există când)

E. Exemplu de rezolvare a ecuației pătratice

Exemplul 1: Rezolvați următoarea ecuație pătratică: x2 - 49x - 50 = 0

Ghid de soluții

Metoda 1: Folosiți formula rădăcinii (a = 1; b = -49; c = -50)

Deoarece ∆ > 0, ecuația are două soluții distincte.

Metoda 2: Calcul mental

Deoarece a – b + c = -1 – (-49) + (-50) = 0

Deci ecuația are două soluții.

Metoda 3:

Conform teoremei lui Viet avem:

Deci ecuația are două soluții:

Exemplul 2: Rezolvați ecuația 4x2 - 2x - 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 - 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => ecuația dată (2) are 2 soluții distincte.

şi

De asemenea, puteți calcula rapid soluția calculând mental, deoarece vedeți că 4-(-2)+6=0, deci x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Soluția este aceeași ca mai sus.

Exemplul 3: Rezolvați ecuația 2x2 - 7x + 3 = 0 (3)

Calculați Δ = (-7)2 - 4.2.3 = 49 - 24= 25 > 0 => (3) are 2 soluții distincte:

şi

Pentru a verifica dacă ați calculat corect soluția este foarte ușor, înlocuiți pe rând x1, x2 în ecuația 3, dacă rezultatul este 0 atunci este corect. De exemplu, înlocuiți x1, 2.32-7.3+3=0.

Exemplul 4: Rezolvați ecuația 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Calculați Δ = 22 - 4.3.5 = -56 < 0=""> ecuația (4) nu are soluție.

Exemplul 5: Rezolvați ecuația x2 – 4x +4 = 0 (5)

Calculați Δ = (-4)2 - 4.4.1 = 0 => ecuația (5) are o soluție dublă:

De fapt, dacă sunteți prost, puteți vedea și că aceasta este identitatea memorabilă (ab)2 = a2 - 2ab + b2, deci este ușor să rescrieți (5) ca (x - 2)2 = 0 <=> x=2.

F. Factorizarea polinoamelor

Dacă ecuația (1) are două soluții distincte x1, x2, o puteți scrie întotdeauna sub următoarea formă: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Revenind la ecuația (2), după ce găsiți 2 soluții x1, x2 o puteți scrie sub forma: 4(x-3/2)(x+1)=0.

G. Rezolvarea ecuaţiilor pătratice care conţin parametri

1. Ecuația cu soluție

2. Ecuație fără soluție

3. Ecuația are o soluție unică (soluție dublă sau două soluții egale)

4. Ecuația are două soluții distincte (diferite).

5. Ecuația are două soluții cu același semn.

6. Ecuația are două soluții cu semne opuse.

7. Ecuația are două rădăcini pozitive (două rădăcini mai mari decât 0)

8. Ecuația are două rădăcini negative (două rădăcini mai mici decât 0)

9. Ecuația are două soluții opuse.

10. Două soluții inverse

Lucruri de reținut:

Alături de ecuația pătratică, există și teorema lui Viet cu multe aplicații precum calcularea mentală a rădăcinilor ecuației pătratice menționate mai sus, găsirea a 2 numere când se cunoaște suma și produsul, determinarea semnelor rădăcinilor sau factorizarea. Acestea sunt toate cunoștințele necesare care vă vor fi asociate în procesul de învățare al algebrei, sau în exercițiile de rezolvare și discutare a ecuațiilor pătratice mai târziu, așa că trebuie să vă amintiți cu atenție și să le exersați fluent.

Dacă intenționați să studiați programarea , trebuie să aveți și cunoștințe de bază de matematică, chiar și cunoștințe avansate de matematică, în funcție de proiectul pe care îl veți realiza.