Ortocentrul unui triunghi este intersecția celor trei altitudini , adică intersecția liniilor de la fiecare vârf al triunghiului până la latura opusă formează un unghi drept. Lungimea altitudinii este distanța dintre partea de sus și de jos.
Ortocentrul unui triunghi
Cele trei altitudini ale unui triunghi se întâlnesc într-un punct. Acest punct se numește ortocentrul triunghiului .
Mai exact: În desen sunt înălțimile, ortocentrul triunghiului.
Pentru a determina ortocentrul unui triunghi, găsim intersecția celor două altitudini din acel triunghi.
Notă: a) Dacă triunghiul este un triunghi ascuțit, ortocentrul se află în interiorul triunghiului.
b) Dacă triunghiul este un triunghi dreptunghic la atunci ortocentrul coincide cu punctul .
c) Dacă un triunghi este un triunghi obtuz, atunci ortocentrul se află în afara triunghiului.
Proprietatea 1: Într-un triunghi echilateral, centroidul, ortocentrul, un punct echidistant de cele trei vârfuri ale triunghiului, un punct în interiorul triunghiului și echidistant de cele trei laturi ale triunghiului sunt patru puncte coincidente.
Proprietatea 2: Ortocentrul taie bisectoarea perpendiculară a două laturi în două segmente de lungime egală. Aceasta înseamnă că ortocentrul este la aceeași distanță de vârfurile triunghiului.
Proprietatea 3: Ortocentrul este centrul cercului circumferitor al unui triunghi, adică dacă desenăm un cerc care trece prin cele trei vârfuri ale unui triunghi, ortocentrul va fi centrul acelui cerc.
Proprietatea 4: Ortocentrul unui triunghi acut se află în interiorul triunghiului, în timp ce ortocentrul unui triunghi obtuz se află în afara triunghiului.
Proprietatea 5: Ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept al acelui triunghi dreptunghic.
Proprietatea 6: Ortocentrul este singurul punct dintr-un triunghi, astfel încât dacă trasăm linii de la ortocentru la vârfurile triunghiului, suma lungimilor acelor linii este cea mai mică. Aceasta înseamnă că ortocentrul este cel mai aproape de vârfurile triunghiului decât orice alt punct.
Proprietatea 7: Ortocentrul este și centrul cercului circumferitor al triunghiului, adică cel mai mare cerc care poate fi trasat prin cele trei vârfuri ale triunghiului.
De exemplu: dat non-pătrat. Sună-i ortocentrul. Arată înălțimile triunghiului. De acolo, indicați ortocentrul acelui triunghi.
Ghid de soluții
Ilustrare
Fie picioarele perpendicularelor trase din ΔABC.
Luați în considerare ΔHBC cu:
deci AD este înălțimea de la H la BC.
la F deci BA este altitudinea de la B la HC
la E deci CA este înălțimea de la C la HB.
se intersectează la A deci A este ortocentrul lui ΔHCB.
De exemplu: dat un triunghi dreptunghic cu înălțimea . Fie punctul de mijloc al fie , punctul de mijloc al este . Determinați ortocentrul triunghiului.
Ghid de soluții
Luați în considerare sub-problema dacă triunghiul are și AC ca puncte de mijloc, respectiv, atunci și .
Într-adevăr, pe raza opusă a razei ia un punct astfel încât
Luați în considerare triunghiul AMN și triunghiul CPN.
(opus)
, (două laturi și două unghiuri corespunzătoare)
Două unghiuri sunt în poziții alternative deci
=>(două unghiuri interioare alternative)
Luați în considerare triunghiul BMC și triunghiul PCM.
(cmt)
MC este o margine comună
, (laturile și unghiurile corespunzătoare)
Două unghiuri sunt în poziții alternative deci
Avem din nou
Luați în considerare triunghiul HAB cu:
(după cum s-a dovedit mai sus)
Luați în considerare triunghiul ADE.
pe de altă parte şi
este înălțimea triunghiului ADE
C este intersecția dintre AC și DC
=> C este ortocentrul triunghiului ADE
De exemplu: Având în vedere o scară la A, altitudinea intersectează mediana la . Demonstrați și calculați?
Instrui
Ilustrare
Pentru că soldul este la A și AM este mediana
⇒ AM este și altitudinea corespunzătoare lui BC
la M.
Pe de altă parte, și deci K este ortocentrul.
Prin urmare, K aparține altitudinii de la C a lui ∆ABC.
Avem:
Te-ai săturat de eroarea frustrantă a contului de lucru Microsoft Teams care îți blochează productivitatea? Descoperă soluții dovedite, pas cu pas, pentru a o remedia rapid - golește memoria cache, resetează aplicația și multe altele. Fă Teams să funcționeze perfect chiar astăzi!
Te-ai săturat de erorile de descărcare Microsoft Teams care îți blochează fluxul de lucru în mod neașteptat? Urmărește ghidul nostru expert, pas cu pas, cu remedieri rapide și sfaturi avansate pentru a o rezolva instantaneu. Nu este necesară reinstalarea!
Te chinui cu Microsoft Teams lent? Află cum să golești memoria cache Microsoft Teams pas cu pas pentru a remedia problemele de performanță, întârzierile, blocările și a crește viteza pe Windows, Mac, web și mobil. Soluții rapide care funcționează!
Te-ai săturat de eroarea 1200 din Microsoft Teams care îți blochează apelurile telefonice? Descoperă remedieri rapide, pas cu pas, pentru iOS și Android, pentru a reveni rapid la munca în echipă fără probleme - nu sunt necesare cunoștințe tehnice!
Întâmpinați dificultăți în a vă localiza ID-ul sau detaliile contului Microsoft Teams? Acest ghid pas cu pas vă arată exact unde puteți găsi ID-ul și informațiile contului Microsoft Teams pe desktop, web, mobil și alte dispozitive, pentru o colaborare fără probleme.
Te confrunți cu eroarea „Alătură-te întâlnirii” din Microsoft Teams? Descoperă pași demonstrați pentru a o rezolva prin linkuri directe. Soluții rapide pentru o alăturare fără probleme - nu sunt necesare abilități tehnice!
Deblochează puterea Microsoft Teams în 2026 cu acest tutorial cuprinzător. Aflați sfaturi esențiale pentru colaborarea în afaceri și educație, de la configurare la funcții avansate pentru o productivitate fără probleme. Perfect atât pentru echipe, cât și pentru sălile de clasă!
Descoperiți de unde descarcă Microsoft Teams fișierele pe computer. Aflați locațiile implicite pentru Windows, Mac, Linux, cum să le schimbați și sfaturi pentru a găsi fișiere instantaneu. Economisiți timp cu acest ghid complet!
Frustrat pentru că înregistrarea ta în Microsoft Teams a eșuat? Descoperă principalele motive comune, cum ar fi problemele de permisiuni, limitele de stocare și erorile de rețea, plus remedieri pas cu pas pentru a preveni viitoarele erori și a înregistra impecabil de fiecare dată.
Vă confruntați cu o eroare de conectare la Microsoft Teams pe Chromebookuri? Descoperiți soluții pas cu pas pentru a rezolva rapid problemele de conectare. Ștergeți memoria cache, actualizați aplicațiile și multe altele pentru o muncă în echipă fără probleme. Funcționează pe cel mai recent sistem de operare Chrome!
