Formula pentru calcularea volumului unui solid de revoluție și exemple ilustrative

Ce este un bloc rotativ? Cum se calculează volumul unui solid de revoluție?

Un solid de revoluție este o formă creată prin rotirea unui plan în jurul unei axe fixe, cum ar fi un con de revoluție, un cilindru de revoluție, o sferă de revoluție etc. Mai jos este formula pentru calcularea volumului unui solid de revoluție, vă rugăm să consultați aceasta.

Cuprins

• Calculați volumul unui bloc circular rotit în jurul axei Ox
• Calculați volumul unui bloc circular rotit în jurul axei Oy
• Exemplu de calcul al volumului solidului de revoluție

Calculați volumul unui bloc circular rotit în jurul axei Ox

Dacă blocul circular se rotește în jurul axei Ox, se pot aplica următoarele formule pentru a calcula volumul blocului circular rotativ:

Cazul 1 : Bloc circular rotativ creat de:

• Linia y= f(x)
• axa x y=0
• x=a; x=b

Apoi, formula de calcul al volumului este:

Cazul 2 : Blocul rotativ este creat de:

• Linia y= f(x)
• Linia y= g(x)
• x=a; x=b

Atunci formula pentru calcularea volumului unui solid de revoluție va fi:

cu

Calculați volumul unui bloc circular rotit în jurul axei Oy

Dacă blocul circular se rotește în jurul axei Oy, se pot aplica următoarele formule pentru a calcula volumul blocului circular rotativ:

Cazul 1 : Blocul rotativ este creat de:

• Linia x=g(y)
• Axa verticală (x=0)
• y=c; y=d

Atunci formula pentru calcularea volumului unui solid de revoluție va fi:

Cazul 2 : Blocul rotativ este creat de

• Linia x=f(y)
• Ecuația x=g(y)
• y=c; y=d

Atunci volumul solidului de revoluție va fi:

cu

Tabel rezumativ al formulelor pentru calcularea volumului unui solid de revoluție:

1. Vx generat de zona S care se rotește în jurul lui Ox:

reteta :

2. Vx generat de zona S care se rotește în jurul lui Ox:

reteta :

Exemplu de calcul al volumului solidului de revoluție

Exemplul 1: 

Calculați volumul solidului de revoluție obținut prin rotirea figurii plane limitate de curba y = sinx, axa x și două drepte x=0, x=π (desen) în jurul axei Ox.

Soluţie

Aplicând formula din teorema de mai sus avem

Exemplul 2: 

Calculați volumul solidului de revoluție obținut prin rotirea figurii plane delimitate de curbă și de axa x în jurul axei x.

Premiu:

Vedem:

Pentru tot x, aceasta este, prin urmare, ecuația unui semicerc cu centrul O și raza R = A situată deasupra axei Ox. Când se rotește în jurul axei Ox, forma plată va forma o sferă cu centrul O și raza R = A (figura). Deci mereu avem

 

Deci, cu acest tip de problemă, nu trebuie să scriem formula de integrare, dar putem concluziona pe baza formulei de calcul al volumului unei sfere.

Exemplul 3: 

Calculați volumul obiectului situat între două plane x = 0 și x = 1, știind că secțiunea transversală a obiectului tăiat de planul (P) perpendicular pe axa Ox în punctul cu abscisa x(0≤x≤1) este un dreptunghi cu două lungimi de laturi x și ln(x2+1).

Premiu: 

Deoarece secțiunea transversală este dreptunghiulară, aria secțiunii transversale este:

Avem volumul de calculat ca

Exemplul 4: Având în vedere o figură plană mărginită de drepte y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 se rotește în jurul axei Ox. Calculați volumul solidului de revoluție rezultat.

Premiu:

Coordonatele intersecției dreptei x = 1 cu y = x și y = 3x sunt punctele C(1;1) și B(3;1). Coordonatele intersecției dreptei y = 3x cu y = x sunt O(0;0).

Deci volumul solidului rotativ de calculat este:

Exemplul 5 : Dată o figură plană mărginită de drepte y = 2x2; y2 = 4x se rotește în jurul axei Ox. Calculați volumul solidului de revoluție rezultat.

Premiu:

Cu timp echivalent. Coordonatele intersecției dreptei cu sunt punctele O(0;0) și A(1;2).

Deci volumul solidului rotativ de calculat este:

Pentru problemele care necesită calcularea volumului unui solid de revoluție, trebuie doar să utilizați formula corectă pentru fiecare caz și să acordați atenție la determinarea limitei pentru a o putea rezolva. Noroc!