Formule pentru combinații, permutări și permutări

Care este formula pentru calcularea combinațiilor și permutărilor? Articolul vă va ghida cum să calculați combinațiile și alte formule aferente.

Permutările și combinațiile sunt cele mai de bază concepte din matematică care implică selectarea elementelor dintr-un grup sau set.

• Permutarea este aranjarea elementelor în ordinea selecției dintr-un grup dat.
• Combinația este selecția articolelor, indiferent de ordine.

Cuprins

• Formula combinatorie
• Formula de permutare
• Permutare 

Formula combinatorie

Dată o mulțime A cu n elemente și dat un întreg k, (1 ≤ k ≤ n). Fiecare submulțime de A cu k elemente se numește o combinație de k-ori de n elemente ale lui A.

Formula K-combinație a lui n

Formula pentru proprietățile unei combinații:

Exemple de combinatorie

Exemplul 1: 

Un grup de 12 elevi. Câte moduri există:

a) Alegeți 2 reprezentanți pentru grup

b) Alegeți 2 persoane și atribuiți funcțiile de șef de echipă și adjunct de șef de echipă.

c) Împărțiți grupul în 2 grupe, în care liderul grupului și liderul adjunct al grupului sunt în grupuri diferite.

Soluţie

a) Alegeți 2 prieteni din 12 prieteni care sunt combinații de 2 din 12: C122 = 66 de moduri.

b) Alegeți 2 persoane și atribuiți-le poziția de combinare a 2 din 12: A122 = 132 moduri.

c) Împărțiți grupul în 2 grupe, fiecare grupă având 6 membri.

În care liderul de echipă și liderul adjunct al echipei sunt în grupuri diferite.

Alegeți 5 prieteni care să fie în același grup cu liderul echipei dintre cei 10 prieteni rămași: C105 = 252 de moduri.

Alegeți 5 persoane care să fie în același grup cu liderul adjunct dintre celelalte 5 persoane: C55 = 1 sens.

Deci există 252,1 = 252 de moduri.

Formula de permutare

Dată o mulțime A cu n elemente și dat un întreg k, (1 ≤ k ≤ n). Când luăm k elemente ale lui A și le aranjam într-o ordine, obținem o perturbare de k ori a n elemente ale lui A (numită perturbare de n ori a lui k a lui A).

Numărul de k-permutări ale unei mulțimi cu n elemente este:

Formula de permutare:

• Cateva conventii: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
• Caracteristici: Acesta este o sortare ordonată, iar numărul de elemente de sortat este k: 0 ≤ k ≤ n.

De exemplu: 

De la cifrele de la 0 la 9. Câte moduri există pentru a forma un număr natural astfel încât:

a) Număr cu 6 cifre diferite

b) Un număr cu 6 cifre diferite și divizibil cu 10

c) Numerele impare au 6 cifre diferite.

Soluţie

a) Faceți un număr cu 6 cifre diferite

Alegeți prima cifră de la numerele de la 1 la 9: există 9 moduri de a alege

Cifrele rămase sunt a 5-a permutare a celor 9 numere rămase (altele decât prima cifră) cu A95

Deci există 9A95 = 136080 numere.

b) Un număr cu 6 cifre diferite și divizibil cu 10

Alegeți cifra unității: există 1 mod de a alege cifra 0

Alegeți cifrele rămase ca a 5-a permutare a celor 9 numere rămase (altele decât cifra 0) cu A95

Deci există A95 = 15120 numere.

c) Fie numărul unui număr impar cu 6 cifre diferite formate din cifrele de la 0 la 9.

Deoarece este impar, f ∈{1; 3; 5; 7; 9}

Alegeți f: există 5 moduri de a alege

Selectați a dintre cifrele {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: există 8 moduri de a alege

Alegeți b, c, d, e ca 4-complex al celor 8 cifre rămase (altele decât f și a): avem A84

Deci există 5.8A84 = 67200 de numere.

Permutare

a) Definitie:

- Având în vedere o mulțime A de n elemente (n ≥ 1).

Fiecare rezultat al ordonării a n elemente dintr-o mulțime A se numește permutare a n elemente.

- Notă: Cele două permutări ale n elemente diferă doar în ordinea lor de aranjare.

b) Numărul de permutări:

- Simbolul Pn este numărul de permutări a n elemente.

Formula de permutare:

Pn = n(n – 1)…2.1 = n!

Convenție: 0! = 1; 1! = 1.

De exemplu:  Aranjați 10 persoane, inclusiv 5 băieți și 5 fete, pe o bancă. Câte moduri există de a aranja astfel încât:

a) Sortați oricare

b) Băieții stau unul lângă altul

c) Băieții și fetele stau alternativ.

Soluţie

a) Numărul de moduri de a aranja 10 persoane pe o bancă este o permutare de 10: 10!

b) Aranjați băieții să stea unul lângă altul. Punem 5 băieți într-un „mănunchi”: sunt 5! cum să aranjezi în interiorul „pachet”

Apoi aranjează 5 fete împreună într-o „grămadă” pe o bancă cu: 6! cum să aranjezi

Deci sunt 5! . 6! = 86400 de moduri de a aranja băieții să stea unul lângă altul.

c) Să presupunem că 10 persoane sunt aranjate pe bănci numerotate de la 1 la 10.

Pentru a alterna băieți și fete

+ Cazul 1: băieții stau în poziții impare, fetele stau în poziții pare

Numărul de moduri de aranjare a băieților: 5!

Numărul de moduri de aranjare a fetelor: 5!

Deci sunt 5! . 5! cum să aranjezi

+ Cazul 2: Băieții stau în poziții pare, fetele stau în poziții impare

Similar cu cazul de mai sus avem 5! . 5! cum să aranjezi

Deci sunt 2. 5! . 5! = 28800 moduri de aranjare.

Diferența dintre permutare și combinație

Diferența dintre permutare și combinație poate fi înțeleasă prin următorul tabel:

Puteți vizita secțiunea Educație și învățare a Quantrimang.com pentru a afla mai multe despre alte formule matematice.